Question

3．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x-1|．
（1）作出函数图象；
（2）指出其单调区间；
（3）写出函数值域，并指出当x取何值时，f（x）有最值；
（4）若关于x的方程f（x）=m有负数根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先将函数解析式，化为分段函数，进而可得函数图象；
（2）数形结合可得函数的单调区间；
（3）数形结合可得函数的最值点和值域；
（4）数形结合，可得方程f（x）=m有负数根时m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}（\frac{1}{3}）^{1-x}，x≤1\\（\frac{1}{3}）^{x-1}，x＞1\end{array}\right.$的图象如下图所示：

（2）由（1）中函数图象可得：
函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，1]，
单调递减区间为：[1，+∞），
（3）由（1）中函数图象可得：
函数f（x）的值域为（0，1]，
当x=1时，函数f（x）取最大值1，
无最小值；
（4）由（1）中函数图象可得：
关于x的方程f（x）=m有负数根，
m∈（0，$\frac{1}{3}$）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象，函数的单调性，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用．