题目内容
15.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的长轴为4,离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是圆x2+y2=b2上第一象限内的任意一点,过P作圆的切线交椭圆C于Q,R两点,F为椭圆的右焦点,求FQ+FR的最小值.
分析 (1)由已知得a=2,c=$\sqrt{3}$,于是${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}=1$,求得椭圆C的方程
(2)直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切,得$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$,m2=1+k2.再由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.两者结合得到结论
解答 解:(1)由已知得a=2,c=$\sqrt{3}$,
于是${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}={2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}=1$,
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$. …(4分)
(2)解法一:由(1)知F($\sqrt{3},0$).设Q(x1,y1),R(x2,y2),
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1$,$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1$,0<x1<2,0<x2<2,.
|FQ|=$\sqrt{({x}_{1}-\sqrt{3})^{2}+{y}_{1}^{2}}=\sqrt{{x}_{1}^{2}-2\sqrt{3}{x}_{1}+3+1-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}$
=$\sqrt{4-2\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{3}{4}{x}_{1}^{2}}=|2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}|=2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}$. …(6分)
同理可得|FR|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}$.
于是|FQ|+|FR|=$(2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1})+(2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2})=4-\frac{\sqrt{3}}{2}({x}_{1}+{x}_{2})$. …(8分)
设切线方程为y=kx+m,m>0,k<0.
直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切,得$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$,m2=1+k2.…(10分)
再由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
由求根公式得${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$. …(12分)
又m2=1+k2,于是|FQ|+|FR|=4$+\frac{4\sqrt{3}km}{1+4{k}^{2}}=4+\frac{4\sqrt{3}km}{{m}^{2}+3{k}^{2}}$.
又${m}^{2}+3{k}^{2}≥-2\sqrt{3}km$,所以$\frac{-2\sqrt{3}km}{{m}^{2}+3{k}^{2}}≤1$,于是$\frac{2\sqrt{3}km}{{m}^{2}+3{k}^{2}}≥1$,
所以|FQ|+|FR|≥4-2=2,当$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,$m=\frac{\sqrt{6}}{2}$时,等号成立,
所以|FQ|+|FR|的最小值为2. …(16分)
解法二:设Q(x1,y1)R(x2,y2).
由椭圆的第二定义知|FQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{4\sqrt{3}}{3}-{x}_{1})=2-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}$,
同理|FR|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}$.
∴|FQ|+|FR|=4-$\frac{\sqrt{3}}{2}({x}_{1}+{x}_{2})$ …(8分)
由(1)知圆的方程为x2+y2=1.
设P(x0,y0),因为点P在第一象限,∴x0∈(0,1),
切线PQ的方程可设为x0x+y0y=1. …(10分)
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+{y}_{0}y=1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$ 得(4${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$)${x}^{2}-8{x}_{0}x+4-4{y}_{0}^{2}=0$,
由${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=1$得(1+3${x}_{0}^{2}$)x2-8x0x+4=0.
由求根公式得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{x}_{0}}{1+3{x}_{0}^{2}}$.…(12分)
∴|FQ|+|FR|=$4-\frac{\sqrt{3}}{2}({x}_{1}+{x}_{2})=4-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{8{x}_{0}}{1+3{x}_{0}^{2}}$=$4-\frac{4\sqrt{3}{x}_{0}}{1+3{x}_{0}^{2}}$.
x0∈(0,1),∴|FQ|+|FR|$≥4-\frac{4\sqrt{3}{x}_{0}}{2\sqrt{3}{x}_{0}}=4-2=2$,
当且仅当${x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号,所以|FQ|+|FR|的最小值为2.…(16分)
点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,属于难度较大的题,高考压轴题常涉及
A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
A. | 5n-4 | B. | 4n-3 | C. | 3n-2 | D. | 2n-1 |