Question

【题目】某娱乐节目参赛选手分初赛培训、复赛三个阶段选拔，将50位参选手的初赛成绩（总分150分）分成[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）5组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分析直方图，估算这50个选手初赛成绩的平均分，若节日组规定成绩大于或等于120分的选手可获得节目组组织的培训资格，120分以下（不包括120）的则被淘汰，求这50个人中获得培训资格的人数；

（2）节目组从获得培训资格的人员中选拔部分人员进入复赛.为增加节目的娱乐性，节目组提供了以下两种进入复赛的方式（每位选手只能选择其中一种）

第一种方式：利用分层抽样的方法抽取6名选手参加复赛；

第二种方式：每人最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题终止答题，答对3题可参加复赛

①已知甲的初赛成绩在[120，130）内，他答对每一个问题的概率为，并且互相之间没有影响甲要想参加复赛，选择那种方式更有利？

②若甲选择第二种方式，求他在答题过程中答题个数X的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）115；15（2）①选择第二种方式更有利②详见解析

【解析】

（1）每组的中点作为代表值加权平均即可得到平均数，根据频率分布直方图估计出初赛成绩大于或等于120分的概率，即可得到这50个人中获得培训资格的人数；

（2）①分别计算甲采用两种方式答题能进入复赛的概率，概率大的更有利；

②列出随机变量的所有可能的取值，分别计算对应概率，列出分布列求期望即可．

（1）平均成绩（95×0.01+105×0.02+115×0.04+125×0.02+135×0.01）×10＝115，

所有获得培训资格的人数为（0.02+0.01）×10×50＝15.

（2）①由题图可知，成绩不低于120分的选手的人数分别为10人，5人，

设“甲能参加培训”为事件A，

若甲采用第一种方式，

则用分层抽样的方法抽取6名人员，在第4组，第5组中分别抽取4人，2人，

∴P（A），若选手选择第二组方式，则因为甲答对第一道题的概率为p，

∴所以甲答题3次且答对的概率为p3.

甲答题4次且恰有3次答对的概率为，

甲答题5次且恰有3次答对的概率为，

由此可得P（A），

∵，

∴甲想参加复赛选择第二种方式更有利.

②甲答对每一题的概率为p，答题个数X的可能取值为3，4，5，

且P（X＝3）＝p3+（1﹣p）3，

P（X＝4），

P（X＝5），

∴X的分布列为：

X	3	4	5
P

∴X的数学期望E（X）＝34.