Question

【题目】设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的最小值为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）见解析.

【解析】

（1）由题意可得的定义域为，求出的导函数，通过判断导函数的符号即可判断的单调性;

（2）由（1）可得，要证，即证，即证明，通过构造函数，判断函数的单调性，通过求得函数的最大值即可推出结果.

（1）根据题意，可得的定义域为，

对求导可得：，

因为，当时，，所以在上单调递增，

当时，令可得，

当时，，即，此时在单调递减，

当时，，即，此时在单调递增，

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可得，最小值为，即，

由题意需证明，即，即证明，即证明，

令，对求导有：，

因为，令可得：，

当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，

所以，

即，即.