题目内容
【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB=AA1 , ∠BAA1=∠BAC=60°,点O是线段AB的中点. (Ⅰ)证明:BC1∥平面OA1C;
(Ⅱ)若AB=2,A1C= ,求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)连接OC,OA1 , A1B.∵CA=CB,∴OC⊥AB. ∵CA=AB=AA1 , ∠BAA1=∠BAC=60°,
故△AA1B、△ABC都为等边三角形,
∴OA1⊥AB,CO⊥AB,∴OA、OA1、OC两两垂直,
以O为原点,OA、OA1、OC所在直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
设CA=CB=AA1=2,
则B(﹣1,0,0),C1(﹣1, , ),O(0,0,0),
A1(0, ,0),C(0,0, ),
=(0, , ), =(0, ,0), =(0,0, ),
设平面OA1C的法向量 =(1,0,0),
∵ =0,且BC1平面OA1C,
∴BC1∥平面OA1C.
解:(Ⅱ)∵AB=2,A1C= ,∴B(﹣1,0,0),C(0,0, ),A1(0, ,0),
=(1,0, ), =(1, ,0),
设平面BCA1的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x= ,得 ,
平面ABC的法向量 =(0,0,1),
设二面角A﹣BC﹣A1的平面角为θ,
则cosθ= = = .
∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)连接OC,OA1 , A1B,以O为原点,OA、OA1、OC所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明BC1∥平面OA1C.(Ⅱ)求出平面BCA1的法向量和平面ABC的法向量,利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣A1的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.