题目内容
【题目】如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,E、F、G分别为CB1、CD1、AB的中点.
(Ⅰ)求证:FG∥面ADD1A1;
(Ⅱ)求二面角B﹣EF﹣C的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体,且底面边长为1,侧棱长为2, 分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则B(1,1,0),F(0, ,1),E( ,1,1),G(1, ,0),
C(0,1,0),
∴平面ADD1A1的一个法向量为 .
,
∵ ,且FG平面ADD1A1 ,
∴FG∥面ADD1A1;
(Ⅱ)解: , , .
设平面BEF的一个法向量为 ,
则 ,取y=﹣2,得 ,
平面EFC的一个法向量为 ,
则 ,取y=﹣2,得 .
∴cos< >= = .
∴二面角B﹣EF﹣C的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)由题意,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面ADD1A1的一个法向量 ,求出 ,由 可得FG∥面ADD1A1;(Ⅱ)分别求出平面BEF与平面EFC的一个法向量,利用两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣EF﹣C的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
练习册系列答案
相关题目