题目内容
【题目】已知点P(﹣1, )是椭圆E: =1(a>b>0)上一点,F1 , F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A,B是椭圆E上两个动点,满足: (0<λ<4,且λ≠2),求直线AB的斜率.
(3)在(2)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
【答案】
(1)
解:∵PF1⊥x轴,∴F1(﹣1,0),c=1,F2(1,0),
∴|PF2|= = ,∴2a=|PF1|+|PF2|=4,∴a=2,∴b2=3,
∴椭圆E的方程为:
(2)
证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由 (0<λ<4,且λ≠2),得(x1+1,y1﹣ )+(x2+1,y2﹣ )=λ(1,﹣ ),
∴x1+x2=λ﹣2,y1+y2= (2﹣λ)…①
又 ,两式相减得3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0…..②
以①式代入可得AB的斜率k= =
(3)
解:设直线AB的方程为y= x+t,与3x2+4y2=12联立消去y并整理得 x2+tx+t2﹣3=0,△=3(4﹣t2),
|AB|= |x1﹣x2|= × = ,
点P到直线AB的距离为d= ,
△PAB的面积为S= |AB|×d= × |t﹣2|,
设f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2<t<2),
f′(t)=﹣3(t3﹣3t2+4)=﹣3(t+1)(t﹣2)2,由f′(t)=0及﹣2<t<2得t=﹣1.
当t∈(﹣2,﹣1)时,f′(t)>0,
当t∈(﹣1,2)时,f′(t)<0,f(t)=﹣1时取得最大值 ,
所以S的最大值为 .
此时x1+x2=﹣t=1=λ﹣2,λ=3.
【解析】(1)由PF1⊥x轴,求出2a=|PF1|+|PF2|=4,由此能求出椭圆E的方程.(2)设A(x1 , y1)、B(x2 , y2),由 (0<λ<4,且λ≠2),得x1+x2=λ﹣2,y1+y2= (2﹣λ),再由3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,由此能求出AB的斜率.(3)设直线AB的方程为y= x+t,与3x2+4y2=12联立得 x2+tx+t2﹣3=0,由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式,求出△PAB的面积为S= × |t﹣2|,设f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2<t<2),求出f′(t)=﹣3(t+1)(t﹣2)2 , 由f′(t)=0及﹣2<t<2得t=﹣1.由此能求出结果.
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程,需要了解椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能得出正确答案.