题目内容

【题目】如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）考虑用向量法来证明，即计算来证明.具体方法是将转化为同起点的向量，即，利用，可求得；（2）设线段的中点为以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值为.

试题解析：

（1）解一：因为侧面为菱形，所以，又，所以，，．

（2）设线段的中点为，连接，由题意知平面，因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。

设，由可知，所以，从而，所以．

由可得，所以．

设平面的一个法向量为，由，得取，则，所以．又平面的法向量为，所以．

练习册系列答案
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【点睛】

本小题主要考查利用函数求解实际应用问题，考查利用基本不等式求最大值，属于中档题.

【题型】解答题
【结束】
20

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