题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
的底面为菱形，且
， 
是
中点.
（Ⅰ）证明： 
平面
；
（Ⅱ）若
， 
，求平面
与平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2) 
【解析】试题分析:(1) 连接
， 
，连接
,易得
，从而
平面
；
（2）取
的中点
，连接
， 
，易证
，以
为原点， 
所在的直线为
轴， 
所在的直线为
轴， 
所在的直线为
轴建立空间坐标系，求出平面
与平面
的法向量面，代入公式计算即可.
试题解析：
（Ⅰ）证明：如图，连接
， 
，连接
，
四棱锥
的底面为菱形，
为
中点，又
是
中点，
在
中， 
是中位线， 
，
又
平面
，而
平面
， 
平面
．
（Ⅱ）解：如图，取
的中点
，连接
， 
，
为菱形，且
， 
为正三角形， 
．
设
， 
， 
，且
为等腰直角三角形，即
，
，
平面
，且
，
， 
，
如图，建立空间直角坐标系，以
为原点， 
所在的直线为
轴， 
所在的直线为
轴， 
所在的直线为
轴，
则
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，
， 
， 
， 
，
设
为平面
的一个法向量，
则
即
可取
．
设
为平面
的一个法向量，
则
即
可取
．
于是
．
所以平面
与平面
所成二面角的正弦值为
．
53随堂测系列答案
【题目】某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下.
（Ⅰ）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；（精确到0.01）
（Ⅱ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关：
参考公式与临界值表： 
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|
）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ | 0 |
| π |
| 2π |
x |
|
| |||
Asin（ωx+φ） | 0 | 5 | ﹣5 | 0 |
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）图象的一个对称中心为（
，0），求θ的最小值.
（3）若
，求
的值.
