题目内容
【题目】如图,在四边形中,
,
,点
在
上,且
,
,现将
沿
折起,使点
到达点
的位置,且
与平面
所成的角为
,
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)根据折叠前后关系得PC⊥CD,根据平几知识得BE//CD,即得PC⊥BE,再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC,最后根据面面垂直判定定理得结论,(2)先根据线面角得△PBE为等腰直角三角形,再取BC的中点O,证得PO⊥平面EBCD,建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得各面法向量,根据向量数量积得向量夹角,最后根据向量夹角与二面角关系得结果.
(1)证明:∵ABCD,AB
BE,∴CD//EB,
∵AC⊥CD,∴PC⊥CD,∴EB⊥PC,且PC∩BC=C,
∴EB⊥平面PBC,
又∵EB平面DEBC,∴平面PBC
平面DEBC;
(2)由(1)知EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,
由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB=45°,
∴△PBE为等腰直角三角形,∴PB=EB,
∵AB//DE,结合CD//EB 得BE=CD=2,
∴PB=2,故△PBC为等边三角形,
取BC的中点O,连结PO,
∵ PO⊥BC,∴PO⊥平面EBCD,
以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,
则,
,
从而,
,
,
设平面PDE的一个法向量为,平面PEB的一个法向量为
,
则由得
,令
得
,
由得
,令
得
,
设二面角D-PE-B的大小为,则
,
即二面角D-PE-B的余弦值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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