题目内容
【题目】已知椭圆C: 的右焦点为F(2,0),过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l不经过点P(0,b)且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为1,试判断直线 l是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)设,由点差法可得
,MN的中点坐标为
,则可得
,由此能求出椭圆C的方程.
(II)设直线AB:,联立方程
得:
由此利用韦达定理、直线斜率公式,结合已知条件能求出直线l经过定点
.
(I)设,则
,两式相减得
,
,
又MN的中点坐标为 ,且M、N、F、Q共线
因为,所以
,
因为所以
,
所以椭圆C的方程为.
(II)设直线AB:,联立方程
得:
设则
,
因为,所以
,所以
所以,所以
,所以
所以,因为
,所以
,
所以直线AB:,直线AB过定点
,
又当直线AB斜率不存在时,设AB:,则
,因为
所以适合上式,所以直线AB过定点
.
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