题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
、
、
三点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
：
（
）与椭圆交于
、
两点，证明直线
与直线
的交点在直线
上．
【答案】（1）
;（2）详见解析．
【解析】
试题（1）当焦点不确定在哪个轴时，可以分别讨论在
轴时，
，代入
点，当在
轴时
，代入点解
或
，成立的就是椭圆方程;或直接设椭圆的一般式
，代入三点的坐标解方程组；
（2）直线方程
与椭圆方程联立，设
，
，由根与系数的关系得到
和
设直线
的方程
，直线
的方程为
后有三种方法，法一，当
时计算交点的纵坐标，并根据直线方程与根与系数的关系证明纵坐标相等，法二是联立直线与的方程，消去后利用根与系数的关系得到交点的横坐标等于4，法三类似于法二，只是先通过根与系数的关系先消去
，得到与的关系，然后再联立两个方程得到交点横坐标为4．
试题解析：（1）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为
（
），
则
，又点
在椭圆
上，得
．解得
．
∴椭圆的方程为
．
当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为
（），
则
，又点在椭圆上，得
．
解得
，这与
矛盾．
综上可知，椭圆的方程为．
解法二：设椭圆方程为
（
），
将
、
、代入椭圆的方程，得
解得
，
．
∴椭圆的方程为．
（2）证法一：将直线
：
代入椭圆的方程并整理，得
，
设直线与椭圆的交点
，
，
由根与系数的关系，得
，
．
直线
的方程为：
，它与直线
的交点坐标为
，
同理可求得直线
与直线的交点坐标为
．
下面证明
、
两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
∵
，
，
∴
．
因此结论成立．
综上可知，直线与直线的交点在直线上．
证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，
得，
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，．
直线的方程为：，即
．
直线的方程为：
，即
．
由直线与直线的方程消去，得
．
∴直线与直线的交点在直线上．
证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，
得，
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，．
消去
得，
．
直线的方程为：，即．
直线的方程为：，即．
由直线与直线的方程消去得，
．
∴直线与直线的交点在直线上．
