Question

11．（1）如果实数x，y满足（x-2）²+y²=3，求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值
（2）已知实数x，y满足方程x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，求$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$\frac{y}{x}$的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，求出直线y=kx与圆相切时，k的值，即可确定斜率k取最大值或最小值；
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$表示圆上的点P到点A（2，3）的距离PA，PA的最大及最小值的点都在CA直线与圆的交点上，最大为CA+r，最小为CA-r．

解答 解：（1）原方程表示以（2，0）为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆，$\frac{y}{x}$的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
设$\frac{y}{x}$=k，即y=kx
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，∴k=±$\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$；
（2）方程x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$为以C（0，1）为圆心，半径为$\frac{1}{2}$的圆，
$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$表示圆上的点P到点A（2，3）的距离PA
因为CA=2$\sqrt{2}$，所以PA的最大及最小值的点都在CA直线与圆的交点上，最大为CA+r=2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，最小为CA-r=2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$的取值范围是[2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，解题的关键理解所求表达式的几何意义，属于中档题．