题目内容
函数f（x）=2x-2-x（x∈R）．
（1）证明函数f（x）在R上为单调增函数；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性．
（1）证明函数f（x）在R上为单调增函数；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性．
（1）证明：在定义域R中任取两个实数x1、x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（2x1-2-x2）-（2x2-2-x2）=2x1-2x2+
-
=（2x1-2x2）（1+
）；
∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，1+
＞0；
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）是R上的增函数．
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
∵f（x）=2x-2-x，
∴f（-x）=2-x-2x=-f（x）；
∴f（x）是R上的奇函数．
则f（x1）-f（x2）=（2x1-2-x2）-（2x2-2-x2）=2x1-2x2+
| 1 |
| 2x2 |
| 1 |
| 2x1 |
| 1 |
| 2x1+x2 |
∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，1+
| 1 |
| 2x1+x2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）是R上的增函数．
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
∵f（x）=2x-2-x，
∴f（-x）=2-x-2x=-f（x）；
∴f（x）是R上的奇函数．
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