Question

7．已知函数f（x）=x+lnx，若k∈Z，且k＜$\frac{f（x）}{x-1}$对x＞1恒成立，求k_max．

Answer 1

分析 k＜$\frac{f（x）}{x-1}$对x＞1恒成立，即求$\frac{f（x）}{x-1}$的最小值，利用导数判断单调性得知递减，无最小值，利用极限思想知其极限值为1

解答 解：$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{x+lnx}{x-1}$
令h（x）=$\frac{x+lnx}{x-1}$
∴h′（x）=$\frac{-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$＜0，x∈（1，+∞）
∴h（x）在x＞1时递减，无最小值
h（x）=$\frac{x+lnx}{x-1}$=$\frac{x-1+lnx+1}{x-1}$=1+$\frac{lnx+1}{x-1}$＞1
k_max=1

点评 考察恒成立问题和导数应用，用到极限思想．