Question

12．若△ABC满足（2$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$）=0，则$\frac{|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$的值为3．

Answer 1

分析 将已知等式展开，可得$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，将要求的式子平方，运用向量的减法和数量积的性质，计算即可得到所求值．

解答 解：（2$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$）=0，
即为2$\overrightarrow{CA}$²+2$\overrightarrow{CB}$²=5$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，
即有为$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，
则（$\frac{|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$）²=（$\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}}$）²
=$\frac{{\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{{\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}-2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}$
=$\frac{\frac{9}{2}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}$=9，
则有$\frac{|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了向量的数量积运算以及向量的模的求法，一般的要求向量的模，先求向量的平方．