Question

17．在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点A（-$\frac{3}{5}$，y₀）．
（1）求2sin²α+sin2α的值；
（2）若向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角为60°，且|$\overrightarrow{OB}$|=2，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由条件求得y₀=$\frac{4}{5}$，再利用任意角的三角函数的定义求得cosα 和sinα的值，可得2sin²α+sin2α 的值．
（2）利用两个向量的数量积的定义求得 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1，设B（x，y），则由题意可得x²+y²=4，且-$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$y=1，再利用个向量的数量积公式求得 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，解出x、y的值，可得点B坐标，再利用斜率公式求得AB的斜率．

解答 解：（1）由题意可得${（-\frac{3}{5}）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，y₀＞0，求得y₀=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=-$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，故2sin²α+sin2α=2sin²α+2sinαcosα=2×$\frac{16}{25}$+2×$\frac{4}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{8}{25}$．
（2）∵向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角为60°，且|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×2×cos60°=1．
设B（x，y），则由题意可得x²+y²=4，且-$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$y=1．
求得 x=$\frac{-3+4\sqrt{3}}{5}$，y=$\frac{4+3\sqrt{5}}{5}$；或x=$\frac{-3-4\sqrt{3}}{5}$，y=$\frac{4-3\sqrt{5}}{5}$，
即B（$\frac{-3+4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4+3\sqrt{5}}{5}$ ），或B（$\frac{-3-4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4-3\sqrt{5}}{5}$ ）．
再根据A（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），根据斜率公式求得AB的斜率为$\frac{\frac{4+3\sqrt{5}}{5}-\frac{4}{5}}{\frac{-3+4\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5}}$=$\frac{3}{4}$，或$\frac{\frac{4-3\sqrt{5}}{5}-\frac{4}{5}}{\frac{-3-4\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5}}$=$\frac{3}{4}$，
故直线AB的斜率为 $\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，直线的斜率公式，属于中档题．