Question

15．如图所示，在正四棱锥V-ABCD中，AB=4，E、F分别为AB、VC边的中点，直线VE与面VBC所成角为$\frac{π}{6}$．
（1）求证：EF∥平面VAD．
（2）求二面角E-VD-B的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的性质定理证明面EFG∥面VAD即可证明EF∥平面VAD．
（2）法一：利用定义法求解二面角E-VD-B的大小．
法二：建立空间坐标系，利用向量法进行求解．

解答 解：（1）如图7取CD的中点G，连结EG，FG．
∵E，G分别为AB，CD的中点，
∴EG∥AD，FG∥VD．
∵EG?面VAD，AD?面VAD，∴EG∥面VAD…（2分）
同理可得FG∥面VAD
又∵EG∩FG=G，所以面EFG∥面VAD．…（3分）
∵EF?面EFG，∴EF∥面VAD．…（4分）
（2）（法一）过点V作VO⊥面ABCD于O，则由正四棱锥的定义可知O为正方形ABCD的中心．
取BC的中点H，连结OH，VH，则OH=2
设VO=h，则$VH=\sqrt{4+{h^2}}$，设点E到面VBC的距离为h'．
∵${V_{V-BCE}}=\frac{1}{3}{S_{△BCE}}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•4•h=\frac{4}{3}h$
又${V_{E-VBC}}=\frac{1}{3}•{S_{△VBC}}•h'=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•4•\sqrt{4+{h^2}}•h'=\frac{2}{3}\sqrt{4+{h^2}}•h'$
由V_V-BCE=V_E-VBC得$h'=\frac{2h}{{\sqrt{4+{h^2}}}}$…7分
∵直线VE与面VBC所成角为$\frac{π}{6}$，
设直线VE与面VBC所成角为θ，
则$sinθ=\frac{h'}{VE}=\frac{2h}{{VE•\sqrt{4+{h^2}}}}=\frac{1}{2}$…（8分）
∵$VE=VH=\sqrt{4+{h^2}}$，故有$\frac{2h}{{\sqrt{4+{h^2}}•\sqrt{4+{h^2}}}}=\frac{1}{2}$，解得h=2．…（9分）
过O作OG⊥VD于G，连结DE交AC于M，连结GM．
∵VO⊥面ABCD，AC?面ABCD，故VO⊥AC
又∵AC⊥BD，VO∩BD=O，∴AC⊥面VBD…（10分）
∵VD?面VBD，∴AC⊥VD
∵OG⊥VD，OG∩AC=O
∴VD⊥面OGM，故VD⊥GM
∴∠OGM为二面角B-VD-E的平面角．…（11分）
由条件可知$VD=2\sqrt{3}$，故$OG=\frac{OD•OV}{VD}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$…（12分）
在Rt△ABG中，$sin∠ADE=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cos∠ADE=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
故$sin∠AMD=sin（{π-∠ADM-∠DAM}）=sin（{∠ADM+∠DAM}）=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
在△ADM中，由正弦定理有$DM=\frac{AD•sin∠DAM}{sin∠AMD}=\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$．
所以，在Rt△MDO中，$MO=\sqrt{D{M^2}-D{O^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（13分）
∴$tan∠OGM=\frac{OH}{OG}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故所求的二面角B-VD-E的大小为$\frac{π}{6}$．…（14分）
（法二：向量法）
以O为坐标原点，OE，OH，OV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则B（2，2，0），C（-2，2，0），E（2，0，0），D（-2，-2，0），V（0，0，h）…（5分）
设面VBC的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，则
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{VB}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{-4x=0}\\{2x+2y-hz=0}\end{array}}\right.$
取y=h，则x=0，z=2
故面VBC的一个法向量为$\overrightarrow m=（{0，h，2}）$…（7分）
∵$\overrightarrow{VE}=（{2，0，-h}）$，设$\overrightarrow{VE}$与面VBC所成角为$\frac{π}{6}$
则$sin\frac{π}{6}=|{cos\left?{\overrightarrow{VE}，\overrightarrow m}\right＞}|=\frac{1}{2}$
即$\frac{2h}{{\sqrt{{h^2}+4}•\sqrt{{h^2}+4}}}=\frac{1}{2}$，解得h=2…（9分）
∵VO⊥AC，AC⊥BD，VO∩BD=O，
故AC⊥面VBD，
故面VBD的一个法向量为$\overrightarrow{OA}=（{2，-2，0}）$…（11分）
设面EVD的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DV}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{4x+2y=0}\\{2x+2y+2z=0}\end{array}}\right.$，取x=1，则y=-2，z=1，
∴$\overrightarrow n=（{1，-2，1}）$…（13分）
设二面角E-VD-B的大小为φ，
则$cosφ=|{cos\left?{\overrightarrow{OA}，\overrightarrow n}\right＞}|=\frac{6}{{2\sqrt{2}•\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
故$φ=\frac{π}{6}$．…（14分）

点评 本题主要考查线面平行的判断以及二面角的求解，利用定义法或者建立空间坐标系利用向量法是求二面角的常用方法，考查学生的运算和推理能力．