Question

14．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1（a∈R）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性
（Ⅱ）求证：ln2•ln3•ln4•…•lnn＞$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）将a=1代入函数的表达式，求出函数f（x）的极小值，得到lnx＞1-$\frac{1}{x}$，分别令x=2，3，4，…，n，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，x∈（0，a），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（a，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（Ⅱ）令a=1，则f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞0），
由（Ⅰ）得：f（x）_极小值=f（x）_min=f（1）=0，
则x∈[2，+∞）时，f（x）＞0，即lnx＞1-$\frac{1}{x}$，
令x=n，则lnn＞1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴ln2＞$\frac{1}{2}$，ln3＞$\frac{2}{3}$，ln4＞$\frac{3}{4}$，…，lnn＞$\frac{n-1}{n}$，
把以上n-1个式子相乘，则得到：
ln2•ln3•ln4…lnn＞$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，（Ⅱ）问中得到lnx＞1-$\frac{1}{x}$是解题的关键，本题是一道中档题．