题目内容

在△ABC中,a、b、c是三个内角A、B、C对应的三边,已知b2+c2=a2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若sinB sinC=
3
4
,试判断△ABC的形状,并说明理由.
考点:余弦定理,正弦定理
专题:解三角形
分析:(1)利用余弦定理表示出cosA,把已知等式变形后代入求出cosA的值,即可确定出A的度数;
(2)由A的度数求出B+C的度数,进而表示出B,代入已知等式中,整理为一个角的正弦函数,利用特殊角的三角函数值求出C的度数,即可做出判断.
解答: 解:(1)∵b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
∴由余弦定理cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
bc
2bc
=
1
2

又0<A<π,
∴A=
π
3

(2)由(1)得B+C=
3

∴sinBsinC=sin(
3
-C)sinC=
3
4

整理得:
3
sin2C-cos2C=2,即sin(2C-
π
6
)=1,
又-
π
6
<2C-
π
6
6

∴2C-
π
6
=
π
2
,即C=
π
3

∴△ABC为等边三角形.
点评:此题考查了余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
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