题目内容
【题目】某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.现计划在正方形MNPQ上建花坛,造价为4200元/平方米,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/平方米,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/平方米.
(1)设总造价为S元,AD的边长为x米,DQ的边长为y米,试建立S关于x的函数关系式;
(2)计划至少要投入多少元,才能建造这个休闲小区.
【答案】(1);(2)118000元
【解析】
(1)根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域,四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式,最后建立建立S与x的函数关系即得;
(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值,并求得当x取何值时,函数S的最小值即可.
(1)由题意,有AM=,由AM>0,有0<x<10
;
则S=4200x2+210(200-x2)+80×2×;
S=4200x2+42000-210x2+=4000x2+
+38000;
∴S关于x的函数关系式:
S=4000x2++38000,(0<x<10
);
(2)S=4000x2++38000≥2
+38000=118000;
当且仅当4000x2=时,即x=
时,
∈(0,10
),S有最小值;
∴当x=米时,Smin=118000元.
故计划至少要投入118000元,才能建造这个休闲小区.

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