Question

【题目】某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．

（1）设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；

（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．

Answer 1

【答案】（1）；（2）118000元

【解析】

(1)根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；

(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．

(1)由题意，有AM=，由AM＞0，有0＜x＜10；

则S=4200x2+210(200-x2)+80×2×；

S=4200x2+42000-210x2+=4000x2++38000；

∴S关于x的函数关系式：

S=4000x2++38000，(0＜x＜10)；

(2)S=4000x2++38000≥2+38000=118000；

当且仅当4000x2=时，即x=时，∈(0，10)，S有最小值；

∴当x=米时，Smin=118000元．

故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．