题目内容

【题目】某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCDEFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.现计划在正方形MNPQ上建花坛,造价为4200/平方米,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210/平方米,再在四个空角上铺草坪,造价为80/平方米.

1)设总造价为S元,AD的边长为x米,DQ的边长为y米,试建立S关于x的函数关系式;

2)计划至少要投入多少元,才能建造这个休闲小区.

【答案】1;(2118000

【解析】

(1)根据由两个相同的矩形ABCDEFGH构成的十字形地域,四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式,最后建立建立Sx的函数关系即得;

(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值,并求得当x取何值时,函数S的最小值即可.

(1)由题意,有AM=,由AM0,有0x10

S=4200x2+210(200-x2)+80×2×

S=4200x2+42000-210x2+=4000x2++38000

S关于x的函数关系式:

S=4000x2++38000,(0x10);

(2)S=4000x2++38000≥2+38000=118000

当且仅当4000x2=时,即x=时,∈(010),S有最小值;

∴当x=米时,Smin=118000元.

故计划至少要投入118000元,才能建造这个休闲小区.

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