Question

【题目】已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，； （2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，分为和两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的，恒有成立，即，根据，分离，从而求出的范围即可．

(1)函数定义域为，且，

令，得，，

当时，，函数在定义域单调递减；

当时，由，得；由，得或，

所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.

综上所述，

当时，在定义域单调递减；

当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.

(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，.

问题等价于：对任意的，恒有成立，即.

因为，则，∴，

设，则当时，取得最小值，

所以，实数的取值范围是.