题目内容

【题目】已知椭圆的离心率,一条准线方程为

⑴求椭圆的方程;

⑵设为椭圆上的两个动点,为坐标原点,且

①当直线的倾斜角为时,求的面积;

②是否存在以原点为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.

【答案】12①SGOH②x2y2

【解析】

(1)因为a2b2c2,

解得a3b,所以椭圆方程为

(2)①解得

所以OGOH,所以SGOH.

假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为R,则OG·OHR·GH

因为OG2OH2GH2,故

OGOH的斜率均存在时,不妨设直线OG方程为ykx,

所以OG2

同理可得OH2(OG2中的k换成-可得)R

OGOH的斜率有一个不存在时,可得

故满足条件的定圆方程为:x2y2

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