题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,一条准线方程为
⑴求椭圆的方程;
⑵设为椭圆
上的两个动点,
为坐标原点,且
.
①当直线的倾斜角为
时,求
的面积;
②是否存在以原点为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线
相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)①S△GOH=
②x2+y2=
【解析】
(1)因为=
,
=
,a2=b2+c2,
解得a=3,b=,所以椭圆方程为
(2)①由解得
由
得
所以OG=,OH=
,所以S△GOH=
.
②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为R,则OG·OH=R·GH,
因为OG2+OH2=GH2,故,
当OG与OH的斜率均存在时,不妨设直线OG方程为y=kx,
由得
所以OG2=
,
同理可得OH2=,(将OG2中的k换成-
可得)
,R=
,
当OG与OH的斜率有一个不存在时,可得,
故满足条件的定圆方程为:x2+y2=
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