题目内容
【题目】如图,在棱长为2的正方体中,
,
,
,
分别是棱
,
,
,
的中点,点
,
分别在棱
,
上移动,且
.
(1)当时,证明:直线
平面
;
(2)是否存在,使面
与面
所成的二面角为直二面角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】以为原点,射线
,
,
分别为
,
,
轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系
.由已知得
,
,
,
,
,
,
,则
,
,
,
,
.
(1)当时,
,因为
,所以
,即
,又
平面
,且
平面
,故直线
平面
.
(2)设平面的一个法向量为
,则
由,得
,于是可取
.
设平面的一个法向量为
,由
,得
,于是可取
.
若存在,使面
与面
所成的二面角为直二面角,则
,即
,解得
,显然满足
.
故存在,使面
与面
所成的二面角为直二面角.
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