Question

14分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，－1），且其右焦点到直线x－y＋=0的距离为3．（I）求椭圆的方程；
（II）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N，
且|AN|＝|AM|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）故满足条件的直线l存在，其斜率k的范围为－1＜k＜1且k≠0．

（I）解：由题意，设椭圆方程为：（a＞1），
则右焦点为F （，0），由已知　，解得：a＝
∴椭圆方程为：                             …………5分
（II）解：设存在满足条件的直线l，其方程为y＝kx＋b（k≠0）
由　　得：　①      …………7分
设M（x1，y1）、N（x2，y2）是方程①的两根，则
　②     …………9分
由韦达定理得：
从而MN的中点P的坐标为（）           ……10分
∵｜AM｜＝｜AN｜　∴AP是线段MN的垂直平分线　∴AP⊥MN
于是　，                 ………12分
代入②并整理得：（3k2＋1）（k2－1）＜0，∴－1＜k＜1
故满足条件的直线l存在，其斜率k的范围为－1＜k＜1且k≠0． ………14分