Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

(1)求出圆C的直角坐标方程；

(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值.

Answer 1

【答案】(1) x2＋y2－4x＝0. (2) －2.

【解析】

（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，利用互化公式可得圆C的普通方程与标准方程．

（2）l′的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，根据点到直线的距离公式即可得出．

(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，

即x2＋y2－4x＝0，

故圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.

(2)l：y＝2x关于点M(0，m)对称的直线l′的方程为y＝2x＋2m，而AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，

故≤2，解得－2－≤m≤－2，于是，实数m的最大值为－2.