Question

【题目】已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，
∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，
∴f′（2）==2，解得a=4．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；
则函数的导数g′（x）=a（-）．
令g′（x）＞0，即a（-）＞0，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴g（x）最小值为g（1）=0，
故f（x）≥a（1﹣）成立．
（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，
令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．
当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，
∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．
当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．
综上，a≥e﹣1
【解析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；
（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；
（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论。