题目内容

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率,且椭圆的短轴长为2.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)已知直线l1l2过右焦点F2,且它们的斜率乘积为﹣1,设l1l2分别与椭圆交于点A,B和C,D.①求AB+CD的值;②设AB的中点M,CD的中点为N,求△OMN面积的最大值.

【答案】(1)(2)①

【解析】

(Ⅰ)由离心率e=,短轴长为2.可得a,b,即可写出方程;(2)设出直线 与椭圆联立,求出,同理求出中点坐标M,N,再利用MN两点确定的直线恒过定点和面积公式即可求出.

(Ⅰ)由题意得2b=2,∴b=1,

,a2=b2+c2,∴a=,c=1,

∴椭圆的方程为

(2)由题意知k0,右焦点

设A( )B()

因为l1l2的斜率乘积为﹣1,所以 所以= +=3

过定点 可通过特殊情形猜想,若有定点,则在x 轴上.

k≠0,k≠±1的情况下,设直线l的方程为:x=ky+1,

直线l的方程为:

由(2)得,y=

,即M(),

N()….(12分)

可得直线MN的方程:

,则,即

y=

故直线MN过定点(或令y=0,即得x=

易验证当k=0,k=±1时,结论仍成立.

综上,直线MN过定点

所以S= =

所以面积最大

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