题目内容
已知
.
(1)求
的单调区间;
(2)证明:当
时,
恒成立;
(3)任取两个不相等的正数
,且
,若存在
使
成立,证明:
.

(1)求

(2)证明:当


(3)任取两个不相等的正数





见解析
(1)g(x)=lnx+
,
=
(1’)
当k
0时,
>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+
),无减区间;
当k>0时,
>0,得x>k;
<0,得0<x<k∴增区间(k,+
)减区间为(0,k)(3’)
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x
1)令
= lnx-1=0得x="e," 当x变化时,h(x),
的变化情况如表
所以h(x)
0, ∴f(x)
2x-e (5’)
设G(x)=lnx-
(x
1)
=
=
0,当且仅当x=1时,
=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)
G(1)="0," 所以lnx-
0所以xlnx
(x
1)成立,所以f(x) 
,综上,当x
1时, 2x-e
f(x)
恒成立.
(3) ∵
=lnx+1∴lnx0+1=
=
∴lnx0=
-1
∴lnx0–lnx
=
-1–lnx
=
=
=
(10’)
设H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵
∴
=
∴lnx0 –lnx
>0, ∴x0>x




当k



当k>0时,



(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x



x | 1 | (1,e) | e | (e,+![]() |
![]() | | - | 0 | + |
h(x) | e-2 | ![]() | 0 | ↗ |


设G(x)=lnx-



















(3) ∵




∴lnx0–lnx






设H(t)=lnt+1-t(0<t<1),






∴lnx0 –lnx



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