Question

20．设区域G为圆C₁：x²+y²=$\frac{1}{2}$的外部与圆C₂：x²+y²=2的内部的公共部分，点P（x，y）在G中运动，求点Q（x+y，x-y）的轨迹方程，并作出它的图形．

Answer 1

分析 设s=x+y，t=x-y，则x=$\frac{1}{2}$（s+t），y=$\frac{1}{2}$（s-t），利用区域G为圆C₁：x²+y²=$\frac{1}{2}$的外部与圆C₂：x²+y²=2的内部的公共部分，点P（x，y）在G中运动，可得点Q（x+y，x-y）的轨迹方程，并作出它的图形．

解答 解：设s=x+y，t=x-y，则x=$\frac{1}{2}$（s+t），y=$\frac{1}{2}$（s-t），
∵区域G为圆C₁：x²+y²=$\frac{1}{2}$的外部与圆C₂：x²+y²=2的内部的公共部分，点P（x，y）在G中运动，
∴$\frac{1}{2}$＜x²+y²＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{4}$（s+t）²+$\frac{1}{4}$（s-t）²＜2，
∴1＜s²+t²＜4，
轨迹为圆x²+y²=1的外部与圆x²+y²=4的内部的公共部分，如图所示．

点评 本题考查圆的方程，考查轨迹问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．