题目内容
8.已知0(0,0),A(3,0),B(0,4),P是△OAB的内切圆上一动点,则以PO、PA、PB为半径的三个圆面积之和的最大值为( )A. | 10π | B. | 12π | C. | 22π | D. | 25π |
分析 由题意可得内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,可得3x2+3y2-6x-6y+3=0,整体代入|PA|2+|PB|2+|PO|2=-2y+22,由函数的思想可得最值.
解答 解:设△OAB内切圆的圆心为(a,a)
∵0(0,0),A(3,0),B(0,4),
∴|OA|=3,|OB|=4,|AB|=5,
由等面积可得$\frac{1}{2}×3×4$=$\frac{1}{2}$(3+4+5)a,解得a=1
∴△OAB内切圆的圆心为(1,1),半径为1,
∴△OAB内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1;
∵点P是△ABO内切圆上一点,设P(x,y)
则(x-1)2+(y-1)2=1,
∴x2+y2-2x-2y+1=0,
∴3x2+3y2-6x-6y+3=0,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-3)2+y2+x2+(y-4)2+x2+y2
=3x2+3y2-6x-8y+25=3x2+3y2-6x-6y+3-2y+22=-2y+22
∴|PA|2+|PB|2+|PC|2=-2y+22,(0≤y≤2),
∴y=0时上式取最大值22,
∴PO、PA、PB为半径的三个圆面积之和的最大值为π(|PA|2+|PB|2+|PC|2)=22π.
故选:C.
点评 本题考查直线和圆的位置关系,涉及等面积和整体思想,属中档题.
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