题目内容
已知椭圆
的左、右焦点分别为
,若以
为圆心,
为半径作圆
,过椭圆上一点
作此圆的切线,切点为
,且
的最小值不小于为
.
(1)求椭圆的离心率
的取值范围;
(2)设椭圆的短半轴长为
,圆
与
轴的右交点为
,过点
作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点,若
,求直线
被圆
截得的弦长
的最大值.









(1)求椭圆的离心率

(2)设椭圆的短半轴长为












(1)
(2)


(1)依题意设切线长

∴当且仅当
取得最小值时
取得最小值,
而
,......2分
,
,
从而解得
,故离心率
的取值范围是
;......6分
(2)依题意
点的坐标为
,则直线的方程为
, 联立方程组
得
,设
,则有
,
,代入直线方程得
,
,又
,
,
......10分
,直线的方程为
,圆心
到直线
的距离
,由图象可知
,

,
,
,所以
.......14分


∴当且仅当


而



从而解得



(2)依题意




得









......10分














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