Question

5．已知点P（x，y）是抛物线y²=x上任意一点，且点P在直线ax+y+a=0的上面，则实数a的取值范围为a＜$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 画出满足条件的图象，数形结合，可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：∵点P（x，y）是抛物线y²=x上任意一点，且点P在直线ax+y+a=0的上面，
如图所示：

直线ax+y+a=0与抛物线y²=x相切时，
方程组$\left\{\begin{array}{l}ax+y+a=0\\{y}^{2}=x\end{array}\right.$有一解，
即a²x²+（2a²-1）x+a²=0有一解，
故a=0（舍去），或△=（2a²-1）²-4a⁴=0
解得：a=$-\frac{1}{2}$，或a=$\frac{1}{2}$（舍去），
由图可得：a＜$-\frac{1}{2}$
故答案为：a＜$-\frac{1}{2}$

点评 本题考查的知识点是抛物线的性质，其中将问题转化为直线与抛物线有交点，是解答的关键．