题目内容
【题目】已知椭圆的两焦点为,
,离心率
.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线:
,若
与此椭圆相交于
,
两点,且
等于椭圆的短轴长,求
的值;
(3)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形
,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】
(1)由题设条件椭圆的两焦点为,
,离心率
,求出
,
两参数的值,即可求得椭圆的方程;(2)根据直线
与此椭圆相交于
,
两点,且
等于椭圆的短轴长,故可由弦长公式建立方程求出参数
的值.首先要将直线方程与椭圆方程联立,再利用弦长公式建立方程,即可求解;(3)先假设能构成等腰直角三角形
,其中
,由题意可知,直角边
,
不可能垂直或平行于
轴,故可设
边所在直线的方程为
(不妨设
),则
边所在直线的方程为
,将此两直线方程与椭圆的方程联立,分别解出
,
两点的坐标,用坐标表示出两线段
,
的长度,由两者相等建立方程求参数
,由解的个数判断三角形的个数即可.
(1)设椭圆方程为,
则,
,
所求椭圆方程为
.
(2)由,消去y,得
,
则得
(*)
设,则
,
,
,
解得.,满足(*)
(3)设能构成等腰直角三角形,其中
,由题意可知,直角边
,
不可能垂直或平行于
轴,故可设
边所在直线的方程为
(不妨设
),则
边所在直线的方程为
.
由,得A
用代替上式中的k,得
,
由,得
k<0,
解得
或
,
故存在三个内接等腰直角三角形.
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