Question

【题目】在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，cosD=﹣ ，AD=DC=2．
（Ⅰ）求cos∠DAC及AC的长；
（Ⅱ）求BC的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）△ACD中，由余弦定理可得：AC2= = ，解得AC= ． ∴cos∠DAC= = = ．
（Ⅱ）设∠DAC=α=∠DCA．
由（Ⅰ）可得：cosα= ，sinα= ．
∴sin∠BAC=sin（120°﹣α）= × + = ．
∴sinB=sin（∠BAC+∠BCA）=sin（180°﹣2α）=sin2α=2× × = ．
在△BAC中，由正弦定理可得： = ．
∴BC= =3
【解析】（1）△ACD中，由余弦定理可得：AC2= = ，解得AC．可得cos∠DAC= ．（2）设∠DAC=α=∠DCA．由（1）可得：cosα= ，sinα= ．可得sin∠BAC=sin（120°﹣α）．sinB=sin（∠BAC+∠BCA）=sin（180°﹣2α）=sin2α．在△BAC中，由正弦定理可得： = ．即可得出．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．