Question

已知椭圆过点，且它的离心率．直线
与椭圆交于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求证：、两点的横坐标的平方和为定值；
（Ⅲ）若直线与圆相切，椭圆上一点满足，求实数的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ) ；
(Ⅱ)，为定值．
（Ⅲ）的取值范围为 ．

试题分析：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为
由已知得：，解得   
所以椭圆的标准方程为：   4分
(Ⅱ) 由，得，设，，
则，为定值． 9分
（Ⅲ）因为直线与圆相切
所以，     
把代入并整理得：
设，则有 

因为，， 所以，
又因为点在椭圆上， 所以，
．   因为    所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 ．     16分
点评：中档题，涉及椭圆的题目，在近些年高考题中是屡见不鲜，往往涉及求标准方程，研究直线与椭圆的位置关系。求标准方程，主要考虑定义及a,b,c,e的关系，涉及直线于椭圆位置关系问题，往往应用韦达定理。涉及直线于圆的位置关系问题，往往利用“特征三角形”。本题在应用韦达定理的基础上，得到参数的表达式，应用二次函数性质使问题得解。