题目内容
【题目】已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列{}的前n项和,若Tn≤λan+1对n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
【答案】(Ⅰ)an=n+1;(Ⅱ).
【解析】
(I)设出此等差数列的公差为d,根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式,又a1,a3,a7成等比数列,根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式,两关系式联立即可求出首项和公差,根据首项和公差写出等差数列{an}的通项公式即可;(II)把(I)中求出的数列{an}的通项公式代入数列中,根据,列举出数列的前n项和的每一项,抵消后得到Tn的通项公式,将求出的Tn的通项公式和an+1的通项公式代入已知的不等式中,解出λ大于等于一个关系式,利用基本不等式求出这个关系式的最大值,即可得到实数λ的最小值.
(I)设公差为d,由已知得:,
即,
解得:d=1或d=0(舍去),
∴a1=2,
故an=2+(n-1)=n+1;
(II)∵=
=
-
,
∴Tn=-
+
-
+…+
-
=
-
=
,
∵Tn≤λan+1对n∈N*恒成立,即≤λ(n+2),λ≥
n∈N*恒成立,
又=
≤
=
,
∴λ的最小值为.
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