题目内容
【题目】如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.
(1)证明:面PAD面PCD;
(2)求AC与PB所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
∵PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为长度单位,
如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M(0,1,).
(1)证明:∵∴,
∴AP⊥DC.
又 由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,
∴DC⊥面PAD.
又∵DC平面PCD,故面PAD⊥面PCD.
(2)解:∵∴
∴,
故AC与PB所成的角的余弦值为.