题目内容
【题目】已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
【答案】
(1)解:设矩阵A= ,这里a,b,c,d∈R,
则 =8 = ,
故 ,
由于矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)换成(﹣2,4).
则 = ,
故
联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=
(2)解:由(1)知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16,
故矩阵M的另一个特征值为2
【解析】(1)先设矩阵A= ,这里a,b,c,d∈R,由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)换成(﹣2,4).得到关于a,b,c,d的方程组,即可求得矩阵M;(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16,从而求得另一个特征值为2.
【题目】几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题,然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等. 为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表:
年龄 | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
受访人数 | 5 | 6 | 15 | 9 | 10 | 5 |
支持发展 | 4 | 5 | 12 | 9 | 7 | 3 |
(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;
年龄低于35岁 | 年龄不低于35岁 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
(2)若对年龄在[15,20)[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查,记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望. 参考数据:
P(K2≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.