Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁+2a₂+…+na_n=2-$\frac{n+2}{2^n}$
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂$\frac{1}{2a_n^2}，且{c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）b_n=log₂$\frac{1}{2{a}_{n}^{2}}$=2n-1，${c}_{n}=\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁+2a₂+…+na_n=2-$\frac{n+2}{2^n}$，
∴当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=2-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，可得na_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，即a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
当n=1时也满足上式，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（II）b_n=log₂$\frac{1}{2{a}_{n}^{2}}$=2n-1，${c}_{n}=\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
∴$2{T}_{n}={2}^{2}+3×{2}^{3}$+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴-T_n=2+2×2²+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．