Question

（2012•江苏一模）选修4-5：不等式选讲
已知a₁，a₂…a_n都是正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．

Answer 1

分析：利用基本不等式可得2+a_i=1+1+a_i≥3

3	ai

（1，2，3，…，n），将不等式两边相乘，结合a₁•a₂…•a_n=1，即可得到结论．

解答：证明：因为a₁是正数，所以2+a₁=1+1+a₁≥3

3	a1

，…（5分）
同理2+a_i=1+1+a_i≥3

3	ai

（2，3，…，n），
将上述不等式两边相乘，得(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n•

2	a1a2…an

，
因为a₁•a₂…•a_n=1，所以(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．…（10分）

点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．