Question

【题目】从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）.若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为.

（1）求圆锥筒的容积；

（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积最大时的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据圆锥的结构特征，扇形即为为圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径和高，即可求出容积；

（2）根据圆柱内接圆锥关系，求出圆柱的高与底面半径的关系式，进而求出圆柱侧面积的目标函数，根据函数特征求其最值即可.

（1）设圆锥筒的半径为，容积为，

∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，

∴，解得，

∴，

∴.

∴圆锥筒的容积为.

（2）设内接圆柱高为则有，由圆锥内接圆柱的轴截面图，

得，

所以内接圆柱侧面积

，

所以当时内接圆柱侧面积最大.