题目内容
【题目】如图，曲线
由两个椭圆
：
和椭圆
：
组成，当
成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.若猫眼曲线过点
，且的公比为
.
（1）求猫眼曲线的方程；
（2）任作斜率为
且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为
，交椭圆所得弦的中点为
，求证：
为与
无关的定值；
（3）若斜率为
的直线
为椭圆的切线，且交椭圆于点
，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）详见解析（3）
【解析】
试题（1）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，由题意得
，再由
成等比数列，且公比为
得
（2）弦中点问题，一般利用点差法得中点坐标与弦斜率关系：
，
，两式相除得
值为
（3）由椭圆几何意义得，过
点且斜率为
的直线与椭圆
也相切，而直线与椭圆相切问题，一般利用判别式为零列等量关系，根据弦长公式可得底边长，根据平行直线间距离公式可得高
试题解析：解. （1），
，
，
（2）设斜率为
的直线交椭圆于点
，线段
中点
由
，得
存在且
，
，且
，即
同理，
得证
（3）设直线
的方程为
，
，
，
，
两平行线间距离：
，
的面积最大值为
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