题目内容
【题目】设函数.
(1)若函数是R上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)设a=,
(
,
),
是
的导函数.①若对任意的x>0,
>0,求证:存在
,使
<0;②若
,求证:
<
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析: 求导得
,由单调性推出a的取值范围
①得
,求导,讨论
和
,代入
得出结论②由函数
单调递增得
,证得
,下面证明
,即可得证
解析:(1)由题意, 对
恒成立,
因为,所以
对
恒成立,
因为,所以
,从而
.
(2)①,所以
.
若,则存在
,使
,不合题意,
所以.取
,则
.
此时.
所以存在,使
.
②依题意,不妨设,令
,则
.
由(1)知函数单调递增,所以
.
从而.
因为,所以
,
所以.
所以.
下面证明,即证明
,只要证明
.
设,所以
在
恒成立.
所以在
单调递减,故
,从而
得证.
所以, 即
.
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