题目内容

如图,将圆p:x2+y2=4上任意一点P′的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到点P,并设点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设o为坐标原点,过点Q(
3
,0)的直线l与曲线C交于两点A,B,线段AB的中点为N,且
OE
=2
ON
,点E在曲线C上,求直线l:
x
a
+
y
b
=1
的方程.
(1)设点P(x,y),点P′(x′,y′),由题意可知
x′=x
y′=2y
,…(2分)
又∵x′2+y′2=4,…(3分)
x2+4y2=4⇒
x2
4
+y2=1
.…(5分)
∴点M的轨迹C的方程为
x2
4
+y2=1
.…(6分)
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),
点N的坐标为(x0,y0),
①当直线l与x轴重合时,线段AB的中点N就是原点O,不合题意,舍去;…(7分)
②设直线l:x=my+
3

x=my+
3
x2+4y2=4
,消去x,得(m2+4)y2+2
3
my-1=0
…(8分)
y0=
y1+y2
2
=-
3
m
m2+4
,…(9分)
x0=my0+
3
=-
3
m2
m2+4
+
3
m2+4
3
m2+4
=
4
3
m2+4
,…(10分)
∴点N的坐标为(
4
3
m2+4
,-
3
m
m2+4
)
.…(11分)
OE
=2
ON
,则点E的为(
8
3
m2+4
,-
2
3
m
m2+4
)
,…(12分)
由点E在曲线C上,
48
(m2+4)2
+
12m2
(m2+4)2
=1

即m4-4m2-32=0,∴m2=8(m2=-4舍去).…(13分)
∴直线l的方程为x±2
2
y-
3
=0
…(14分)
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