题目内容

设双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，其一个顶点的坐标是(
1
3
，0)；又直线l：y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由．
（Ⅰ）∵双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，
离心率为2，其一个顶点的坐标是(
1
3
，0)，
∴设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1，
∴
c
a
=2
a=
1
3
，解得a=
3
3
，c=
2
3
3
，
b2=（
2
3
3
）2-（
3
3
）2=1，
∴双曲线C的标准方程为3x2-y2=1．
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点．
将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x2-y2=1后，
整理得（k2-3）x2+2kx+2=0，…①
依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，
∴
k2-3≠0
△=(2k)2-8(k2-3)＞0
，
解得k的取值范围是-
6
＜k＜
6
，
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则由①式得
x1+x2=
2k
3-k2
x1x2=
2
k2-3
，…②
y1y2=（kx1+1）（kx2+1）
=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点（0，0），
则由FA⊥FB得：x1x2+y1y2=0，…③
把②式代入③式得：（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0
∴（1+k2）•
2
k2-3
+
2k2
3-k2
+1=0，
解得k=-1，或k=1，
∴1和-1都在（-
6
，
6
）内，
∴存在实数k=±1，使得以AB为直径的圆经过坐标原点．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，椭圆C2的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的离心率为
2
2
，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．
已知椭圆C1：
x2
4
+
y2
3
=1和抛物线C2：y2=2px（p＞0），过点M（1，0）且倾斜角为
π
3
的直线与抛物线交于A、B，与椭圆交于C、D，当|AB|：|CD|=5：3时，求p的值．
已知点P(-1，
3
2
)是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为
5
？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（-2，0），C（2，0），直线AB，AC的斜率乘积为-
1
4
，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求
S
|k|
的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为4
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C（
1
3
，0），使得|AC|=|BC|，求直线l的方程．
如图，将圆p：x2+y2=4上任意一点P′的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），得到点P，并设点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）设o为坐标原点，过点Q（
3
，0）的直线l与曲线C交于两点A，B，线段AB的中点为N，且
OE
=2
ON
，点E在曲线C上，求直线l：
x
a
+
y
b
=1的方程．
斜率为2的直线l与双曲线
x2
3
-
y2
2
=1交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．
设P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求
y1+y2
y0
的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．

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