Question

已知函数, .
（1）若, 函数 在其定义域是增函数，求的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数的最小值；
（3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为；（3）不存在点.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、不等式基础知识，考查函数思想、构造函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，利用导数研究函数的单调性，转化为恒成立问题，再转化为求函数最值问题；第二问，利用配方法求最值，讨论对称轴与区间端点的大小，本问突出体现了分类讨论思想的运用；第三问，把问题坐标化，用反证法证明，利用切线平行，列出方程，构造函数，判断单调性求最值，得出矛盾.
试题解析：（1）依题意：在上是增函数，
对恒成立，       2分
∴
∵,则.
∴的取值范围为                   4分
（2）设，则函数化为
∵
∴当，即时，函数在上为增函数.
当时，；                     6分
当，即时，当时，；
当，即时，函数在上是减函数.
当时，                       8分
综上所述，当时，的最小值为.
当时，的最小值为.
当时，的最小值为.              9分
（3）设点的坐标是且则点的横坐标为
在点处的切线斜率为
在点处的切线斜率为       10分
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则
则                      11分
则




设，则 ①                12分
令，则
∵，∴，所以在上单调递增，
故，则.
这与①矛盾，假设不成立.故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.                                 14分