题目内容
【题目】已知函数,
,
.
(1)求函数的极值点;
(2)已知T(,
)为函数
,
的公共点,且函数
,
在点T处的切线相同,求a的值;
(3)若函数在(0,
)上的零点个数为2,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)a = e. (3)a > e.
【解析】
(1)对函数求导,得到导函数的零点和在零点两侧的单调性,进而得到极值点;(2)点T(x0,y0)为函数,
的公共点,且函数
,
在点T处的切线相同,所以
且
,联立两式消参得到
,从而求出零点,进而得到参数值;(3)设函数
,
.则
,令
得,
,
函数单调故不可能有2个零点,结合函数单调性证明a > e时有2个零点即可.
(1)因为,所以
.
令得,x = -1,
当时,
;当
时,
,
所以函数的极小值点为x = -1,不存在极大值点.
(2)依题意.
因为点T(x0,y0)为函数,
的公共点,且函数
,
在点T处的切线相同.
所以 且
,
由②得,,代入①得,
,显然
,
所以.
因为满足该方程,且函数
为单调增函数,所 以,
,a = e.
(3)设函数,
.
则,
令得,
.
当时,
,所以
为(0,+
)上单调增函数,至多1个零点,不符,舍去;
当a > 0时,得,
,由(1)知,
为(-1,+
)上单调增函数,所以
在(0,+
)上有唯一解,记为
, 即
的根为
.
当时,
,单调递减
;
当时,
,
单调递增.
因为函数的零点个数为2.
下证:a > e时,函数在(0,+
)上的零点个数为2.
因为,
,
,
根据的单调性结合零点存在性定理知,函数
在(
,x1)上存在一个零点,在(x1,2a)上存在一个零点,故函数
在(0,+
)上的零点个数为2.
所以a > e.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目