Question

【题目】已知函数f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a为实常数．

(1)求g(x)的单调区间；

(2)当a＝－1时，证明：存在x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）代入a的值，令h（x）＝f′（x）﹣g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2，根据函数的单调性证明即可．

（1）g′(x)＝3ax2+2，

当a≥0时，g′(x)＞0故g(x)的单调增区间为（﹣∞，+∞）.

当a＜0时，令g′(x)≥0得x，g(x)的单调增区间为[x]，

g（x）的单调减区间为：（﹣∞，），（，+∞）

（2）当a＝﹣1时，f′(x)＝ex﹣e﹣x，g′(x)＝2﹣3x2，

x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．

即x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0），且f（x0）≠g（x0），

令h(x)＝f′(x)﹣g′(x)＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2，

h（0）＝﹣2＜0，h（1）＝e2+3＞0，

∴x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0）.

∵当x∈（0，）时,g′(x)＞0，当x∈（，1）时g′(x)＜0，

∴所以g(x)在区间（0，1）的最大值为g（），g（）2.

而f(x)＝ex+e﹣x≥22，

∴x∈（0，1）时f(x)＞g(x)恒成立，∴f（x0）≠g（x0）．

从而当a＝﹣1时，：x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．