题目内容
【题目】定义在上的函数
,若满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界
(1)设,判断
在
上是否是有界函数,若是,说明理由,并写出
所有上界的值的集合;若不是,也请说明理由.
(2)若函数在
上是以
为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1)是有界函数;(2)
【解析】
(1)分离常数后,可得函数的单调性,在区间
内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得
的取值范围.
(2)根据有界函数定义,可得的值域.代入解析式可分离得
的不等式组.利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得
的取值范围.
(1)
则在
上单调递增
所以对任意
满足
而
所以
若恒成立,则
即所有上界的值的集合为
(2)函数在
上是以
为上界的有界函数
根据有界函数定义,可知在
上恒成立
所以
即
化简变形可得
令
则在
上恒成立
即满足
由二次函数性质可知,,当
时,
,所以当
时,
即,
故的取值范围为
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